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Download Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Walter Gubler PDF

Posted On April 11, 2017 at 7:06 pm by / Comments Off on Download Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Walter Gubler PDF

By Walter Gubler

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5 w¨ahlen. 7 (Homomorphiesatz). Sei ϕ : R1 → R2 ein Homomorphismus zwischen kommutativen Ringen, so gibt es genau einen Ringisomorphismus ϕ¯ : R1 / ker(ϕ)→ϕ(R ˜ ¯ = ϕ(x). 1 ) mit ϕ([x]) Beweis: Zun¨achst ist zu bemerken, dass es sich bei ϕ(R1 ) wieder um einen Ring handelt. Wenden wir nun den Homomorphiesatz auf die unterliegenden additiven Gruppen an, so erhalten wir die Eindeutigkeit. Weiter folgt die Existenz von ϕ¯ als additiver Gruppenhomomorphismus. , dass ϕ([a] ¯ · [b]) = ϕ([a]) ¯ · ϕ([b]) ¯ f¨ ur alle [a], [b] ∈ R1 / ker(ϕ) erf¨ ullt ist.

H. es gibt ein y ∈ R mit [x · y] = [x] · [y] = [1]. Da [x · y] = x · y + I, erhalten wir 1 ∈ x · y + I. 8 folgt J = R wie gew¨ unscht. 13. Jedes Maximalideal ist ein Primideal. Beweis: Sei I ein Maximalideal. 12 wissen wir, dass R/I somit auch ein K¨orper ist. Jeder K¨ orper ist aber nullteilerfrei, und damit insbesondere ein Integrit¨ atsbereich. 12 muss I damit ein Primideal sein. 2. 14. Sind I und J Ideale in R, so auch i) I + J := {a + b | a ∈ I, b ∈ J} und ii) I ∩ J Beweis: Der Beweis ist im Grunde genommen recht einfach.

Beweis: Nach Definition gilt ord(< g >) = | < g > |. Sei nun g n = g m . Damit ist g n−m = e. Insbesondere sind die Elemente g n mit 0 ≤ n < ord(g) alle verschieden. W¨ are dies nicht der Fall, so w¨ urde es 0 ≤ m < n < ord(g) geben mit g n = g m , womit wie oben g n−m = e folgen w¨ urde. Damit ist dann aber ord(g) ≤ n − m ≤ n und dies ist ein Widerspruch. Wir nehmen zuerst an, dass ord(g) < ∞. Zu zeigen bleibt: {e, g, . . , g ord(g)−1 } =< g > Sei hierzu g n ∈< g > mit n ∈ Z. Haben wir gezeigt, dass g n ∈ {e, g, .

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